Muchacho, PeterK. No puedo imaginar una verdadera fase lineal y un filtro causal que sea verdaderamente IIR. No puedo ver cómo obtendrías la simetría sin que la cosa fuera FIR. Y, semánticamente, llamaría a un IIR truncado (TIIR) un método de implementación de una clase de FIR. Y entonces no obtendrás una fase lineal a menos que lo hagas con la misma cosa, a la vez, como Powell-Chau. Ndash robert bristow-johnson Nov 26 15 at 3:32 Esta respuesta explica cómo funciona filtfilt. Ndash Matt L. Nov 26 15 at 7:48 1 Respuesta Un filtro de media móvil de fase cero es un filtro FIR de longitud extraña con coeficientes donde N es la longitud del filtro (impar). Dado que hn tiene valores distintos de cero para nlt0, no es causal y, en consecuencia, sólo puede implementarse añadiendo un retardo, es decir, haciéndolo causal. Tenga en cuenta que simplemente no puede utilizar Matlabs filtfilt función con ese filtro, porque a pesar de que obtendría cero fase (con un retraso), la magnitud de la función de transferencia de filtros se cuadran, correspondiente a una respuesta de impulso triangular (es decir, las muestras de entrada más alejado de la La muestra actual recibe menos peso). Esta respuesta explica con más detalle lo que filtfilt hace. El científico y los ingenieros Guía para el procesamiento de señales digitales Por Steven W. Smith, Ph. D. Capítulo 19: Filtros recursivos Hay tres tipos de respuesta de fase que un filtro puede tener: fase cero. Fase lineal. Y fase no lineal. Un ejemplo de cada uno de estos se muestra en la Figura 19-7. Como se muestra en (a), el filtro de fase cero se caracteriza por una respuesta de impulso que es simétrica alrededor de la muestra cero. La forma real no importa, sólo que las muestras numeradas negativas son una imagen especular de las muestras numeradas positivas. Cuando se toma la transformada de Fourier de esta forma de onda simétrica, la fase será enteramente cero, como se muestra en (b). La desventaja del filtro de fase cero es que requiere el uso de índices negativos, que pueden ser inconvenientes para trabajar con. El filtro de fase lineal es una forma de evitar esto. La respuesta de impulso en (d) es idéntica a la mostrada en (a), excepto que se ha desplazado para utilizar sólo muestras positivas numeradas. La respuesta de impulso sigue siendo simétrica entre la izquierda y la derecha sin embargo, la ubicación de la simetría se ha desplazado de cero. Este cambio da lugar a que la fase, (e), sea una línea recta. Explicando el nombre: fase lineal. La pendiente de esta recta es directamente proporcional a la cantidad del desplazamiento. Puesto que el cambio en la respuesta de impulso no produce más que un cambio idéntico en la señal de salida, el filtro de fase lineal es equivalente al filtro de fase cero para la mayoría de los propósitos. La figura (g) muestra una respuesta de impulso que no es simétrica entre la izquierda y la derecha. Correspondientemente, la fase, (h), no es una recta. En otras palabras, tiene una fase no lineal. No confunda los términos: fase no lineal y lineal con el concepto de linealidad del sistema discutido en el capítulo 5. Aunque ambos usan la palabra lineal. No están relacionados. ¿Por qué alguien se preocupa si la fase es lineal o no? Las figuras (c), (f) e (i) muestran la respuesta. Estas son las respuestas de pulso de cada uno de los tres filtros. La respuesta de impulsos no es más que una respuesta de paso positivo, seguida de una respuesta de paso negativo. La respuesta de impulsos se utiliza aquí porque muestra lo que sucede a ambos bordes ascendentes y descendentes en una señal. Aquí está la parte importante: los filtros de fase cero y lineal tienen bordes izquierdo y derecho que parecen iguales. Mientras que los filtros de fase no lineales tienen bordes izquierdo y derecho que parecen diferentes. Muchas aplicaciones no pueden tolerar que los bordes izquierdo y derecho parezcan diferentes. Un ejemplo es la visualización de un osciloscopio, donde esta diferencia podría ser malinterpretada como una característica de la señal que se está midiendo. Otro ejemplo es el procesamiento de video. ¿Se puede imaginar encender su televisor para encontrar el oído izquierdo de su actor favorito mirando diferente de su oído derecho Es fácil hacer un filtro FIR (respuesta de impulso finito) tienen una fase lineal. Esto se debe a que la respuesta de impulso (núcleo del filtro) se especifica directamente en el proceso de diseño. Hacer que el núcleo del filtro tenga una simetría izquierda-derecha es todo lo que se requiere. Este no es el caso con los filtros IIR (recursivos), ya que los coeficientes de recursión son lo que se especifica, no la respuesta al impulso. La respuesta de impulso de un filtro recursivo no es simétrica entre la izquierda y la derecha, y por lo tanto tiene una fase no lineal. Los circuitos electrónicos analógicos tienen este mismo problema con la respuesta de fase. Imagine un circuito compuesto de resistencias y condensadores sentados en su escritorio. Si la entrada siempre ha sido cero, la salida también siempre será cero. Cuando se aplica un impulso a la entrada, los condensadores se cargan rápidamente a algún valor y luego comienzan a decaer exponencialmente a través de las resistencias. La respuesta de impulso (es decir, la señal de salida) es una combinación de estos diversos exponenciales en descomposición. La respuesta de impulso no puede ser simétrica, ya que la salida era cero antes del impulso, y la decadencia exponencial nunca alcanza un valor de cero de nuevo. Los diseñadores de filtros analógicos atacan este problema con el filtro Bessel. Presentado en el capítulo 3. El filtro de Bessel está diseñado para tener la fase lineal posible, sin embargo, está muy por debajo del rendimiento de los filtros digitales. La capacidad de proporcionar una fase lineal exacta es una clara ventaja de los filtros digitales. Afortunadamente, existe una manera sencilla de modificar los filtros recursivos para obtener una fase cero. La figura 19-8 muestra un ejemplo de cómo funciona. La señal de entrada a filtrar se muestra en (a). La figura (b) muestra la señal después de haber sido filtrada por un filtro de paso bajo de un solo polo. Como este es un filtro de fase no lineal, los bordes izquierdo y derecho no parecen iguales, son versiones invertidas entre sí. Como se ha descrito anteriormente, este filtro recursivo se implementa partiendo de la muestra 0 y trabajando hacia la muestra 150, calculando cada muestra a lo largo del camino. Ahora, supongamos que en lugar de moverse de la muestra 0 hacia la muestra 150, comenzamos en la muestra 150 y nos movemos hacia la muestra 0. En otras palabras, cada muestra en la señal de salida se calcula a partir de muestras de entrada y salida a la derecha de la muestra que se está trabajando en. Esto significa que la ecuación de recursión, Eq. 19-1, se cambia a: La figura (c) muestra el resultado de este filtrado inverso. Esto es análogo a pasar una señal análoga a través de un circuito RC electrónico mientras que funciona el tiempo al revés. Filtrado en la dirección inversa no produce ningún beneficio en sí mismo la señal filtrada todavía tiene bordes izquierdo y derecho que no se parecen. La magia ocurre cuando se combinan filtrado directo y retroceso. La figura (d) resulta de filtrar la señal en la dirección hacia delante y luego filtrar de nuevo en la dirección inversa. Voila Produce un filtro recursivo de fase cero. De hecho, cualquier filtro recursivo se puede convertir en fase cero con esta técnica de filtrado bidireccional. La única penalización por este rendimiento mejorado es un factor de dos en tiempo de ejecución y complejidad del programa. ¿Cómo se encuentran las respuestas de impulso y frecuencia del filtro general? La magnitud de la respuesta de frecuencia es la misma para cada dirección, mientras que las fases son opuestas en signo. Cuando las dos direcciones se combinan, la magnitud se convierte en cuadrado. Mientras que la fase se cancela a cero. En el dominio del tiempo, esto corresponde a convolar la respuesta de impulso original con una versión invertida de izquierda a derecha de sí misma. Por ejemplo, la respuesta de impulso de un filtro de paso bajo de un solo polo es una exponencial unilateral. La respuesta de impulso del filtro bidireccional correspondiente es una exponencial unilateral que decae a la derecha, convolucionada con una exponencial unilateral que se descompone a la izquierda. Pasando por las matemáticas, esto resulta ser un exponencial de doble cara que se descompone tanto a la izquierda como a la derecha, con la misma constante de decaimiento que el filtro original. Algunas aplicaciones sólo tienen una parte de la señal en el ordenador en un momento determinado, tales como sistemas que alternativamente entran y salen datos de forma continua. En estos casos, se puede utilizar el filtrado bidireccional combinándolo con el método de superposición-adición descrito en el último capítulo. Cuando se llega a la pregunta de cuánto tiempo la respuesta al impulso es, no decir infinito. Si lo hace, tendrá que pad cada segmento de señal con un número infinito de ceros. Recuerde, la respuesta de impulso puede ser truncada cuando se ha decaído por debajo del nivel de ruido de redondeo, es decir aproximadamente 15 a 20 constantes de tiempo. Cada segmento tendrá que ser rellenado con ceros en la izquierda y la derecha para permitir la expansión durante el filtrado bidireccional. El científico y los ingenieros Guía para el procesamiento de señales digitales Por Steven W. Smith, Ph. D. En el caso de que el valor de f (x) sea f (f), entonces un cambio en el dominio del tiempo da como resultado: xns 8596 MagX f amp Fase X f 2pi sf (donde f se expresa como una fracción De la tasa de muestreo, que oscila entre 0 y 0,5). En palabras, un cambio de s muestras en el dominio del tiempo deja la magnitud sin cambios, pero añade un término lineal a la fase, 2960 sf. Veamos un ejemplo de cómo esto funciona. La Figura 10-3 muestra cómo se afecta la fase cuando la forma de onda del dominio del tiempo se desplaza a la izquierda oa la derecha. La magnitud no se ha incluido en esta ilustración porque no es interesante que no se cambie por el cambio de dominio de tiempo. En las Figs. (A) a (d), la forma de onda se desplaza gradualmente de tener el pico centrado en la muestra 128, para tenerla centrada en la muestra 0. Esta secuencia de gráficos toma en cuenta que la DFT ve el dominio del tiempo como circular cuando partes de la Salida de onda a la derecha, reaparecen a la izquierda. La forma de onda del dominio del tiempo en la Fig. 10-3 es simétrica alrededor de un eje vertical, es decir, los lados izquierdo y derecho son imágenes especulares entre sí. Como se mencionó en el capítulo 7, las señales con este tipo de simetría se denominan fase lineal. Porque la fase de su espectro de frecuencia es una línea recta. Del mismo modo, las señales que no tienen esta simetría izquierda-derecha se llaman fase no lineal. Y tienen fases que son algo que no sea una línea recta. Las figuras (e) a (h) muestran la fase de las señales de (a) a (d). Como se describe en el capítulo 7, estas señales de fase se desenrollan. Permitiéndoles aparecer sin las discontinuidades asociadas con el mantenimiento del valor entre 960 y -960. Cuando la forma de onda del dominio del tiempo se desplaza a la derecha, la fase permanece en línea recta, pero experimenta una disminución de la pendiente. Cuando el dominio del tiempo se desplaza a la izquierda, hay un aumento en la pendiente. Esta es la propiedad principal que necesita recordar de esta sección un cambio en el dominio del tiempo corresponde a cambiar la pendiente de la fase. Las figuras (b) y (f) muestran un caso único en el que la fase es enteramente cero. Esto ocurre cuando la señal del dominio del tiempo es simétrica alrededor de la muestra cero. A primera vista, esta simetría puede no ser obvia en (b) puede parecer que la señal es simétrica alrededor de la muestra 256 (es decir, N / 2) en su lugar. Recuerde que el DFT ve el dominio del tiempo como circular, con el cero de muestra inherentemente conectado a la muestra N -1. Cualquier señal que sea simétrica alrededor de la muestra cero también será simétrica alrededor de la muestra N / 2, y viceversa. Cuando se utilizan miembros de la familia de transformación de Fourier que no ven el dominio del tiempo como periódico (como el DTFT), la simetría debe estar alrededor de la muestra cero para producir una fase cero. Las figuras (d) y (h) muestran algo de un acertijo. Primero imagine que (d) se formó desplazando la forma de onda en (c) un poco más hacia la derecha. Esto significa que la fase en (h) tendría una pendiente ligeramente más negativa que en (g). Esta fase se muestra como línea 1. A continuación, imagine que (d) se formó comenzando con (a) y desplazándola hacia la izquierda. En este caso, la fase debe tener una pendiente ligeramente más positiva que (e), como se ilustra en la línea 2. Por último, observe que (d) es simétrica alrededor de la muestra N / 2, y por lo tanto debe tener una fase cero, como se ilustra Por la línea 3. ¿Cuál de estas tres fases es correcta? Todos ellos son, dependiendo de cómo se dispongan las ambigüedades de fase 960 y 2960 (discutidas en el capítulo 8). Por ejemplo, cada muestra en la línea 2 difiere de la muestra correspondiente en la línea 1 por un múltiplo entero de 2960, haciéndolos iguales. Para relacionar la línea 3 con las líneas 1 y 2, también deben tenerse en cuenta las 960 ambigüedades. Para entender por qué la fase se comporta como lo hace, imagine desplazar una forma de onda por una muestra a la derecha. Esto significa que todos los sinusoides que componen la forma de onda también deben ser desplazados por una muestra a la derecha. La figura 10-4 muestra dos sinusoides que podrían formar parte de la forma de onda. En (a), la onda sinusoidal tiene una frecuencia muy baja, y un cambio de una muestra es sólo una pequeña fracción de un ciclo completo. En (b), el sinusoide tiene una frecuencia de la mitad de la frecuencia de muestreo, la frecuencia más alta que puede existir en los datos muestreados. Un cambio de una muestra a esta frecuencia es igual a un ciclo completo de 1/2, o 960 radianes. Es decir, cuando un cambio se expresa en términos de un cambio de fase, se hace proporcional a la frecuencia de la sinusoide que se está desplazando. Por ejemplo, considere una forma de onda que es simétrica alrededor de la muestra cero, y por lo tanto tiene una fase cero. La figura 10-5a muestra cómo cambia la fase de esta señal cuando se desplaza hacia la izquierda o hacia la derecha. A la frecuencia más alta, la mitad de la frecuencia de muestreo, la fase aumenta en 960 por cada muestra de desplazamiento hacia la izquierda, y disminuye en 960 para cada turno de muestra a la derecha. En la frecuencia cero no hay desfase, y todas las frecuencias entre siguen en línea recta. Todos los ejemplos que hemos utilizado hasta ahora son de fase lineal. La Figura 10-5b muestra que las señales de fase no lineal reaccionan al desplazamiento de la misma manera. En este ejemplo la fase no lineal es una línea recta con dos pulsos rectangulares. Cuando se desplaza el dominio de tiempo, estas características no lineales se superponen simplemente en la pendiente cambiante. Qué sucede en las partes real e imaginaria cuando la forma de onda del dominio del tiempo se desplaza Recuerde que las señales del dominio de la frecuencia en la notación rectangular son casi imposibles para que los seres humanos entiendan. Las partes reales e imaginarias típicamente parecen oscilaciones aleatorias sin patrón aparente. Cuando se desplaza la señal del dominio del tiempo, los patrones ondulantes de las partes real e imaginaria se hacen aún más oscilantes y difíciles de interpretar. No pierda su tiempo tratando de entender estas señales, o cómo se cambian por el cambio de dominio del tiempo. La figura 10-6 es una demostración interesante de qué información está contenida en la fase. Y qué información está contenida en la magnitud. La forma de onda en (a) tiene dos características muy distintas: un borde ascendente en el número de muestra 55 y un borde descendente en el número de muestra 110. Los bordes son muy importantes cuando la información se codifica en la forma de una forma de onda. Un borde indica cuando algo sucede, dividiendo lo que está a la izquierda de lo que está a la derecha. Es información codificada en el dominio del tiempo en su forma más pura. Para comenzar la demostración, se toma la DFT de la señal en (a), y el espectro de frecuencia se convierte en notación polar. Para encontrar la señal en (b), la fase se reemplaza con números aleatorios entre -960 y 960, y la DFT inversa utilizada para reconstruir la forma de onda del dominio del tiempo. En otras palabras, (b) se basa únicamente en la información contenida en la magnitud. De manera similar, (c) se encuentra reemplazando la magnitud con números aleatorios pequeños antes de usar la DFT inversa. Esto hace que la reconstrucción de (c) se base únicamente en la información contenida en la fase. El resultado Las ubicaciones de los bordes están claramente presentes en (c), pero totalmente ausentes en (b). Esto se debe a que un borde se forma cuando muchos sinusoides se elevan en el mismo lugar, posible sólo cuando sus fases están coordinadas. En resumen, gran parte de la información sobre la forma de la forma de onda del dominio del tiempo está contenida en la fase. En lugar de la magnitud. Esto se puede contrastar con las señales que tienen su información codificada en el dominio de la frecuencia, tales como señales de audio. La magnitud es más importante para estas señales, con la fase jugando sólo un papel menor. En capítulos posteriores veremos que este tipo de comprensión proporciona estrategias para diseñar filtros y otros métodos de procesamiento de señales. Comprender cómo se representa la información en las señales es siempre el primer paso en el DSP exitoso. ¿Por qué la simetría izquierda-derecha corresponde a una fase cero (o lineal)? La figura 10-7 proporciona la respuesta. Dicha señal se puede descomponer en una mitad izquierda y una mitad derecha, como se muestra en (a), (b) y (c). La muestra en el centro de simetría (cero en este caso) se divide por igual entre las mitades izquierda y derecha, permitiendo que los dos lados sean imágenes especulares perfectas entre sí. Las magnitudes de estas dos mitades serán idénticas. Como se muestra en (e) y (f), mientras que las fases serán opuestas en signo, como en (h) e (i). Dos conceptos importantes caen fuera de esto. Primero, cada señal que sea simétrica entre la izquierda y la derecha tendrá una fase lineal porque la fase no lineal de la mitad izquierda anula exactamente la fase no lineal de la mitad derecha. En segundo lugar, imaginar voltear (b) tal que se convierte en (c). Esta vuelta izquierda-derecha en el dominio del tiempo no hace nada a la magnitud, pero cambia el signo de cada punto en la fase. Del mismo modo, al cambiar el signo de la fase se invierte la señal del dominio del tiempo de izquierda a derecha. Si las señales son continuas, el flip es alrededor de cero. Si las señales son discretas, el flip está alrededor de la muestra cero y la muestra N / 2, simultáneamente. Cambiar el signo de la fase es una operación bastante común que se da su propio nombre y símbolo. El nombre es una conjugación compleja. Y se representa colocando una estrella en la parte superior derecha de la variable. Por ejemplo, si X f consiste en MagX f y PhaseX f, entonces X f se denomina complejo conjugado y se compone de MagX f y - PhaseX f. En notación rectangular, el conjugado complejo se encuentra al dejar la parte real sola, y cambiar el signo de la parte imaginaria. En términos matemáticos, si X f se compone de ReX f e ImX f, entonces X f se compone de ReX f e - ImX f. Aquí hay varios ejemplos de cómo el conjugado complejo se utiliza en DSP. Si x n tiene una transformada de Fourier de X f, entonces x - n tiene una transformada de Fourier de X 8727 f. En palabras, mover de un tirón el dominio del tiempo izquierdo-para-derecho corresponde a cambiar el signo de la fase. Como otro ejemplo, recuerde del Capítulo 7 que la correlación puede realizarse como una convolución. Esto se hace volteando una de las señales de izquierda a derecha. En forma matemática, a n b n es convolución, mientras que n b - n es correlación. En el dominio de la frecuencia, estas operaciones corresponden a A f veces B f y A f veces B f, respectivamente. Como último ejemplo, considere una señal arbitraria, x n, y su espectro de frecuencia, X f. El espectro de frecuencia se puede cambiar a fase cero multiplicándolo por su conjugado complejo, es decir, X f veces X f. En palabras, cualquier fase X f que tenga será cancelada agregando su opuesto (recuerde, cuando se multiplican los espectros de frecuencia, se añaden sus fases). En el dominio del tiempo, esto significa que x n x - n (una señal convoluida con una versión volteada izquierda-derecha de sí mismo) tendrá una simetría izquierda-derecha alrededor de la muestra cero, independientemente de lo que x n sea. Para muchos ingenieros y matemáticos, este tipo de manipulación es DSP. Si desea ser capaz de comunicarse con este grupo, acostúmbrese a usar su lenguaje.
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